Die Grammatik wiegt hier schwerer als die Bedeutung: nach let steht der Infinitiv ohne to. Let me know, nicht let me to know. Genauso verhalten sich make, see, hear, feel — let me help, I saw him leave. Das Deutsche kennt dieselbe Erscheinung bei lassen, sehen und hören: „ich sah ihn gehen“, ohne zu.
Dem Sinn nach ist es die Bitte, später Bescheid zu geben, nicht jetzt etwas zu sagen. Weil die Wendung so weich ist, wurde sie zum Standardschluss der Geschäftsmail: let me know if you have any questions. Verstärkt wird sie mit do — do let me know klingt betont höflich, nicht drängend.